• $H$ – hilbert-space
• $A$ – compact-operator и funcan-8
• $\lambda \in \mathbb{C},,\lambda \neq 0$

Тогда

• $\overline{\operatorname{Im}(A_\lambda)} = \operatorname{Im}(A_\lambda)$

Док-во

• Используем funcan-4
• Используем funcan-2
  • Знаем, что $\operatorname{Ker}(A_\lambda)$ – инвариантное подпространство относительно $A$ (почему?)
  • Тогда, по лемме, и $\overline{\operatorname{Im}(A_\lambda)}$ – инвариантное
• Рассмотрим сужение оператора $A$ на $\overline{\operatorname{Im}(A_\lambda)}$ – КССО
• Воспользуемся funcan-1
  • В пространстве нет собственных векторов, отвечающих $\lambda$
  • Значит, $\lambda$ – не собственное значение сужения
  • Значит, по лемме, $\lambda \in \rho(A)$
  • Значит, уравнение $A_\lambda x = y$ разрешимо непрерывно