• $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$ Тогда $A$ - непрерывный $\Leftrightarrow$ $A$ - ограниченный

Док-во:

• Пусть ограниченный (переводит ограниченное множество в ограниченное)

  • Тогда …
  • $|Ax_n - Ax| = |A(x_n - x)| \leq |A| |x_n - x| \rightarrow 0$

• Пусть непрерывный $x_n \rightarrow x \implies Ax_n \rightarrow Ax$

  • Предположим, что оператор неограниченный, то есть существует ограниченное множество, переходящее в неограниченное