• $H$ – гильбертово пространство
• $M$ – подпространство
  • выпуклое
  • замкнутое

Тогда

• $\forall h \in H:,,\exists! x \in M,|x - h| = \rho(h, M)$

Док-во:

2. Единственность

• Пусть таких элементов два:
  • $|x_1 - h| = \rho(h, M)$ и $|x_2 - h| = \rho(h, M)$
  • Воспользуемся funcan-7 $|x_1 - x_2|^2 = |x_1 - h + h - x_2|^2 = 2|x_1 - h|^2 + 2|x_2 - h|^2 - |x_1 + x_2 - 2h|^2 = (*)$
  • $|x_1 + x_2 - 2h|^2 = 4|\frac{x_1 + x_2}{2} - h|^2$
    • Знаем, что $\frac{x_1 + x_2}{2} \in M$. Значит, $|\frac{x_1 + x_2}{2} - h| \geq \rho(h, M)$
    • Тогда $0 \leq (*) = 2\rho(h, M)^2 + 2\rho(h, M)^2 - 4|\frac{x_1 + x_2}{2} - h|^2 \leq 2\rho(h, M)^2 + 2\rho(h, M)^2 - 4\rho(h, M)^2 = 0$
  • Значит, $x_1 = x_2$

1. Существование

• $d := \rho(h, M) = \inf_{x\in M}|x - h|$
• Пусть ${x_n}$ такая последовательность, что $|x_n - h| \rightarrow d$
  • $\forall \varepsilon > 0,\exists N(\varepsilon):,\forall n \geq N(\varepsilon),,|x_n - h|^2 \leq d^2 + \varepsilon$
• Хотим показать, что у ${x_n}$ есть предел, т.е. она фундаментальна (пространство полное)
  • $|x_n - x_m|^2 = |x_n - h + h - x_m|^2 = 2|x_n - h|^2 + 2|x_m - h|^2 - |x_n + x_m - 2h|^2 = (*)$
  • $(*) \leq 4(d^2 + \varepsilon) - 4d^2 = 4\varepsilon$
• $x_n \rightarrow x \implies |x_n - h| \rightarrow |x - h| = d$