Residue (complex analysis)

$$ f(z) = \ldots + \frac{C_{-1}}{z - z_0} + C_0 + \ldots, \ C_{-1} = \operatorname{res}_{z_0} f(z) $$

…

• УОТ или т. регул. $\implies \text{res}f = 0$
• Полюс 1 порядка:

$$ f(z) = \frac{C_{-1}}{z - z_0} + C_0 + \ldots, \ (z - z_0)f(z) = C_{-1} + C_0(z - z_0) + \ldots, \ \lim((z - z_0) f(z)) = C_{-1} $$

• СОТ

$$ e^{\frac{1}{z}} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \ldots, \ \operatorname{res} = 1 $$

Вычет в $\infty$

$$ \operatorname{res}{\infty}f = -C{-1} $$

Special formula

Let $z_0$ - полюс $m$ порядка

$$ \operatorname{res}{z_0} F(z) = \frac{1}{(m - 1)!} \lim{z \rightarrow z_0}((z - z_0)^m \cdot F(z))^{(m - 1)} $$