$$ Ax = f $$

• $\tau Ax = \tau f$
• $x = (E - \tau A)x + \tau f$
• $x^{(n-1)} = (E - \tau A)x^{(n)} + \tau f$
• ${x^{(0)}, x^{(1)}, \ldots } \rightarrow x^*$

Теорема

$x^{(p+1)} = R x^{(p)} + f$ сходится, если $||R|| \leq q < 1$

Теорема ($\iff$)

МПИ сходится по любой норме для любого $x^{(0)} \iff |\lambda_j(R)| \leq p < 1$

Подбор $\tau$

$$ |1 - \lambda_j(R)| < 1 $$

Теорема (Рябенький с 110-112)

1. Если $\tau > 0$ и достаточно мало, так что $\tau \in [0, \frac{2}{\lambda_{max}(A)}] \implies$ последовательность $||x - x^{(p)}|| \leq q^p ||x - x^{(0)}||$ сходится $$ q = max(|1 - \tau \lambda_{min}(A)|, |1 - \tau \lambda_{max}(A)|) $$
2. Если п.1 нарушен $\implies$ последовательность не сходится при некотором $x^{(0)}$
3. $q = q(\tau)$ принимает оптимальное значение $q_{\text{опт}}$ при $\tau = \frac{2}{\lambda_{max} + \lambda_{min}}$. Тогда $q = \frac{\lambda_{max} - \lambda_{min}}{\lambda_{max} + \lambda_{min}}$

Всё ок, если $A = A^*$. Иначе могут найтись $\lambda_j$ разных знаков Можно свести $Ax = f$ к $A^T Ax = A^T f$