• $H$ – гильбертово пространство
• $A$ – компактный и самосопряженный оператор
• $\lambda \in \mathbb{C},,\lambda \neq 0$

Тогда

• $\lambda \in \sigma(A) \implies \lambda \in \sigma_p(A)$

Док-во:

• Знаем, что компактный оператор непрерывен (ПК $\implies$ огр $\implies$ оператор непрерывен)
• Используем number-in-spectre-criteria
• ${x_n}$ – ограниченное, значит, так как $A$ – компактный оператор, ${A x_n}$ – предкомпакт
• Значит, $\exists y,\exists A x_{n_k} \rightarrow y$
• Из критерия так же известно, что, $|A_\lambda x_{n_k}| \rightarrow 0$, значит, $\lambda I x_{n_k} \rightarrow y$
• Получаем, что $y \leftarrow A x_{n_k} \rightarrow \frac{1}{\lambda}A y$ (по непрерывности), значит, $\lambda y = A y$